هدایت یک بعدی خطی

 

مقدمه ای بر انتقال حرارت مهندسی - هدایت خطی و یک بعدی


انتقال یا هدایت (Conduction): عبارت است از انتقال حرارت درون جامدات. مثلا حرارت از یک طرف دیوار (که گرمتر است) به طرف دیگر دیوار (که سردتر است) منتقل می شود.

مقدار حرارت منتقل شده در واحد زمان (نرخ انتقال حرارت) از طریق هدایت در یک جامد، به اختلاف دمای دو سطح جامد، خواص فیزیکی جامد و مشخصات هندسی جامد بستگی دارد. مثلا یک میله را درنظر بگیرید که بین دو مخزن با دمای متفاوت TA و TB قرار گرفته است (شکل زیر).

 

conduction-1

 

مشخصات هندسی میله شامل طول و سطح مقطع آن می شود. طبیعی است که هرچه سطح مقطع بیشتر باشد، حرارت از سطح بیشتری عبور کرده و نرخ انتقال حرارت نیز افزایش می یابد (درست مانند قطر لوله که هر چه بیشتر باشد، دبی جریان افزایش می یابد). همچنین، هرچه طول میله بیشتر باشد، طبیعی است که حرارت باید مسافت بیشتری طی کند و با مقاومت حرارتی بیشتری مواجه شده و در نتیجه نرخ انتقال حرارت کاهش می یابد. همچنین، می توان گفت که نرخ انتقال حرارت به اختلاف دمای دو مخزن نیز بستگی دارد به طوری که هرچه اختلاف دما بیشتر باشد، نرخ انتقال حرارت بیشتر خواهد بود (این مسئله را می توان مانند اختلاف فشار در لوله و یا اختلاف پتانسیل در جریان الکتریکی شبیه کرد که هرچه بیشتر باشد، جریان و یا دبی بیشتر خواهد بود).


همچنین، می دانیم که اگر TA = TB باشد، انتقال حرارتی اتفاق نمی افتد و مقدار نرخ انتقال حرارت صفر خواهد بود. با فرضیات فوق رابطه نرخ انتقال حرارت متناسب با اختلاف دما، سطح و طول و خواص فیزیکی جامد، به صورت زیر نوشته می شود:


HT-eq1



 

در این رابطه Q نرخ انتقال حرارت و A سطح مقطع و L طول است. (اثبات این رابطه در فایل مرجع - در انتهای همین مقاله - وجود دارد).

ضریب k به عنوان ضریب انتقال حرارت شناخته می شود و خاصیت فیزیکی از هر ماده ای است. برای عایق ها، این ضریب هرچه کمتر باشد، طبیعتا عملکرد عایق بهتر خواهد بود، چراکه اصلی ترین مکانیزم انتقال حرارت در عایق های حرارتی، مکانیزم هدایت می باشد. واحد ضریب انتقال حرارت W/m.K است.


پارامتر دیگری که در محاسبات انتقال حرارت به حالت هدایت بسیار مفید است، شار حرارتی است و عبارت است از مقدار نرخ انتقال حرارت در واحد سطح:

HT-eq2



 

با توجه به روابط فوق، مشخص می شود که رابطه بین دما و طول (dT/dx)، برای محاسبه نرخ انتقال حرارت لازم است.

 

هدایت در حالت پایدار و یک بعدی

با فرض انتقال حرارت هدایت یک بعدی (یعنی دما تنها تابعی از طول باشد)، می توان رابطه دما در هر نقطه جامد را با توجه به شرایط مرزی و رابطه نرخ انتقال حرارت بدست آورد.

 

conduction-2

 

می توان ثابت کرد (به مرجع روجوع شود) که رابطه دما و طول در انتقال حرارت هدایت حالت پایدار یک بعدی، مطابق با رابطه زیر است:

 

HT-eq3

 

 


مثال 1) انتقال حرارت در یک دیوار به ضخامت L و دماهای T1 و T2 :

 

conduction-3

 

در این مثال، سطح ثابت است و تابعی از x نیست. به عبارتی dA/dx =0 و بنابراین رابطه نسبت دما و طول به شکل زیر ساده می شود:

 

HT-eq4

 

 

از رابطه فوق می توان نتیجه گرفت که:         T(x)=ax+b

ضرایب a و b را می توان با توجه به شرایط مرزی بدست آورد. یعنی T(0)=T1 و T(L)=T2

در نتیجه معادله دما بر حسب طول به صورت زیر خواهد بود:

 HT-eq5

 

 

اینک می توان شار حرارتی در واحد سطح را محاسبه نمود:

 HT-eq6

 

 


conduction-4


نکته ای که ممکن است در حل مسائل واقعی مهندسی و عایق کاری به ذهن خطور کند این است فرض شرایط یک بعدی و حالت پایدار، در چه مواقعی صادق است و چقدر می توان به آن اطمینان کرد. جواب این سوال به دقت حل مسئله و تحلیل بستگی دارد. در حالت کلی معیار مشخصی وجود ندارد که بتوان تحت آن، صدق فرضیات حالت پایدار و یک بعدی را 100% تایید کرد، با این حال می توان گفت که در صورتی که سطح بسیار بزرگ تر از طول یا ضخامت باشد، فرض های حالت بعدی و پایدار تا حد زیادی صادق اند و می توان به نتایج بدست آمده از این تحلیل، در مسائل مهندسی و عایق کاری واقعی، اطمینان کرد.

 

مقاومت حرارتی

می توان مسئل انتقال حرارت یک بعدی را به صورت سمبلیک با یک تشابه غیرواقعی، به مسئله مدار الکتریکی تشبیه کرد. این کار به مقدار قابل توجهی مسئله را ساده می کند. همچنین، عبارتی را به مسئله انتقال حرارت اضافه می کند تحت عنوان "مقاومت حرارتی"، که دقیقا نقش مقاومت در مدار الکرتیکی تشبیه شده را دارد.


در تشبیه مسئله انتقال حرارت به مدار الکتریکی، نرخ انتقال حرارت Q نقش جریان (آمپر) و اختلاف دما (T1-T2)، نقش ولتاژ را بازی می کند. در این صورت، با توجه به رابطه معروف V=RI داریم:

Q = (T1 - T2) / R

 

با توجه به رابطه نرخ انتقال حرارت بر حسب اختلاف دما که در بالا عنوان شد، می توان نتیجه گرفت که مقاومت حرارتی یک المان حرارتی برابر است با:

R = L/kA

که L ضخامت المان، A سطح مقطع و k ضریب انتقال حرارت آن است.

در متون تخصصی عایق، معمولا مقاومت حرارتی در سطح واحد برای عایق ها بیان می شود که عبارت است از معکوس ضریب انتقال حرارت ضرب در ضخامت عایق.

 

عبارت مقاومت حرارتی، می تواند تا حد زیادی در ساده تر شدن مسائل انتقال حرارت به ما کمک کند. مثلا المان زیر را در نظر بگیرید که از دو جنس مختلف ساخته شده است.

 

conduction-5

 

همانند مدار الکتریکی که در آن، مقاومت های سری با هم جمع می شوند، در مسئله انتقال حرارت نیز، مقاومت­های حرارتی سری با هم جمع می شوند و به عبارتی، مقاومت کلی سطح برابر است با:         R = R1 + R2

 

بنابراین، نرخ انتقال حرارت برابر است با:

 HT-eq7

 



مثال 2) سطح عایقی را در نظر بگیرید که با پیچ به دیوار متصل شده است:

 

conduction-6

 

با توجه به اینکه ماده عایق و پیچ، متفاوت هستند، می توان این حالت را به صورت مقاومت های موازی در مادر الکتریکی تشبیه کرد:

 

 HT-eq8

 

همچنین نرخ حرارت منتقل شده کل، برابر است با نرخ انتقال حرارت از درون عایق به علاوه نرخ انتقال حرارت از درون پیچ:

Q = Q1 + Q2

 

مثال 3) دیوار آجری که دو طرف آن عایق شده است. می توان این مجموعه را به صورت سه مقاومت سری، مدل کرد:

 

conduction-7 

 

ضریب مقاومت حرارتی کل برابر است با:

 

HT-eq9 




با فرض این که ضریب انتقال حرارت آجر 0.7W/mK و ضریب انتقال حرارت عایق 0.07 باشد و سطح هم برابر باشد، یعنی A1=A2=A3، :

 

HT-eq10

 

شار حرارتی نیز، در طول ثابت است و عبارت است از:

 

HT-eq11

 

conduction-8